Matemaatikal on otsustav roll käitumise ja töö mõistmisel elektriline ja elektroonilised süsteemid . Polünoomid, algebra, tõenäosus, integreerimised ja diferentseerimised jne ... moodustavad olulise osa tööriistadest, mida süsteemide lahendamiseks kasutatakse. Süsteemide järjest keerukamaks muutudes on vaja väga keerukaid meetodeid. Juhtimissüsteemide määratlemisel kasutatakse silmatorkavalt diferentsiaalvõrrandeid. Neid võrrandeid on lihtne lahendada. Kuid keerukus tekib kõrgema astme diferentsiaalvõrrandite lahendamisel. Selliste keerukate kõrgema astme diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks on tõhusaks osutunud matemaatiline meetod Laplace'i teisendus . Kuna seda transformatsiooni kasutatakse laialdaselt, on kasulik teada, mida nad tegelikult silmas pidasid ja kuidas nad töötavad.

Mis on Laplace'i teisendus?

Matemaatikas rakendatakse muutujaid muutuja ühest vormist teise teisendamiseks, et võrrandit oleks hõlpsam käsitseda. Laplace muundub üsna samamoodi. Nad muudavad kõrgema astme diferentsiaalvõrrandi polünoomvormiks, mis on palju lihtsam kui diferentsiaalvõrrandi otsene lahendamine.

Kuid on olemas mitmesuguseid teisendusi nagu Fourieri teisendus, z teisendab seda, mis muudab Laplace'i teisenduse eriliseks? Laplace'i teisenduse peamine eelis on see, et need on määratletud nii stabiilsete kui ka ebastabiilsete süsteemide jaoks, samas kui Fourieri teisendused on määratletud ainult stabiilsete süsteemide jaoks.

Laplace'i teisenduse valem

Funktsiooni f (t) Laplace'i teisendus ajapiirkonnas, kus t on nullist suurem või võrdne tegelik arv, esitatakse kui F (s), kus on s on kompleksarv sagedusdomeenis, st. s = σ + jω
Ülaltoodud võrrandit peetakse järgmiseks ühepoolne Laplace'i teisendusvõrrand . Kui piire laiendatakse kogu tegelikule teljele, siis Kahepoolne Laplace'i teisendus saab defineerida kui
Praktilistes vooluringides nagu RC ja RL ahelad tavaliselt kasutatakse algtingimusi, seega kasutatakse analüüsi eesmärgil ühepoolseid Laplace'i teisendusi.
Kui s = σ + jω, siis kui σ = 0, käitub Laplace'i teisendus Fourieri teisendusena.

“kuidas ostsillaator töötab ”

Laplace'i teisendusvalemid

Laplace'i teisenduse rakendatavuse tingimused

Laplace'i teisendeid nimetatakse integraalseteks teisendusteks, seega on nende teisenduste lähendamiseks vajalikud tingimused.
st f peab olema intervalli [0, ∞) jaoks lokaalselt integreeritav ja sõltuvalt sellest, kas σ on positiivne või negatiivne, võib e ^ (- σt) laguneda või kasvada. Kahepoolsete Laplace'i teisenduste asemel ühtse väärtuse korral koondub integraal teatud väärtuste vahemikku, mis on tuntud kui lähenemispiirkond.

Laplace'i teisenduse omadused:

Lineaarsus

Aja nihutamine

Nihe S-domeenis

Aja ümberpööramine

S-domeeni diferentseerimine

Pöördumine ajas

Algväärtuse teoreem

Algväärtuste teoreemi rakendatakse juhul, kui Laplace'i teisenduses on lugeja aste väiksem kui nimetaja aste Lõpliku väärtuse teoreem:

Kui kõik sF (de) poolused asuvad S-tasapinna lõppväärtuse teoreemi vasakpoolses osas.

Pööratud Laplace'i teisendus

Konvergentsi tõttu on Laplace'i teisendusel ka pöördteisend. Laplace'i transformatsioonides kuvatakse üks-ühele kaardistamine ühest funktsiooniruumist teise. Pööratud Laplace'i teisenduse valem on

“mis on lineaarne ja mittelineaarne ”

Kuidas arvutada Laplace'i teisendust?

Laplace'i teisendus muudab võrrandite käsitlemise lihtsamaks. Kui antakse kõrgema astme diferentsiaalvõrrand, rakendatakse sellele Laplace'i teisendus, mis teisendab võrrandi algebraliseks võrrandiks, muutes seeläbi selle hõlpsama käsitsemise. Seejärel arvutame selle algebralise võrrandi lihtsustamise abil juured. Nüüd leitakse lihtsama avaldise pöördvõrdeline Laplace'i teisendus, mis lahendab antud kõrgema astme diferentsiaalvõrrandi.

Laplace'i teisenduse arvutamine

Laplace Transformi rakendused

Elektri- ja elektroonilised ahelad .
Keeruliste diferentsiaalvõrrandite jaotamine lihtsamateks polünoomvormideks.
Laplace'i teisendus annab teavet nii püsivate kui ka mööduvate olekute kohta.
Masinõppes kasutatakse Laplace'i teisendit andmekaevanduses ennustuste tegemiseks ja analüüside tegemiseks.
Laplace'i teisendus lihtsustab arvutusi süsteemi modelleerimisel.

Laplace'i teisenduse kasutamine signaalitöötluses

Signaalitöötluseks valitakse sageli Laplace'i teisendused. Koos Fourieri teisendusega on Laplace'i teisendus kasutatakse signaali uurimiseks sagedusalas. Kui sageduspiirkonnas on signaalis väikesed sagedused, võib eeldada, et signaal on ajapiirkonnas sujuv. Signaali filtreerimine toimub tavaliselt sagedusalas, mille puhul Laplace toimib olulise tööriistana signaali teisendamiseks ajadomeenist sagedusdomeeniks.

Laplace'i teisenduse rakendamine juhtimissüsteemides

Juhtimissüsteemid on tavaliselt ette nähtud teiste seadmete käitumise juhtimiseks. Näide juhtimissüsteemid võib ulatuda lihtsast kodukütte regulaatorist kuni tööstusliku juhtimissüsteemini, mis reguleerib masinate käitumist.

Üldiselt kasutavad juhtimisinsenerid erinevate suletud ahelaga funktsionaalsete plokkide käitumise kirjeldamiseks diferentsiaalvõrrandeid. Laplace'i teisendust kasutatakse siin nende võrrandite lahendamiseks ilma olulise muutuja teabe kadumiseta.

Lineaarse ajaga varieeruvate süsteemide iseloomustamine Laplace'i teisenduse abil

Süsteemiga seotud juhusliku süsteemi ROC puhul on funktsioon parem poolpind. Süsteem on juhuslik, kui selle impulsivastus h (t) = 0, kui t> 0.

Kui süsteemi funktsioonide ROC H (s) sisaldab jω telge, siis L.T.I. süsteemi nimetatakse stabiilseks süsteemiks. Kui ratsionaalsete süsteemifunktsioonidega juhuslikul süsteemil H (s) on kõigi pooluste negatiivsed reaalosad, on süsteem stabiilne.

Seega on Laplace'i teisendus ülioluline tööriist vooluringide analüüsimisel. Me võime öelda, nagu stetoskoop on arst, Laplace'i teisendused on inseneri juhtimiseks. Milliseks peate Laplace'i teisendusi? Mil moel olid need teile abiks?